Recuperación Óptima No Lineal en Espacios de Hilbert

Este artículo investiga estrategias de solución para problemas no lineales en espacios de Hilbert, como ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) no lineales en espacios de Sobolev, cuando solo se dispone de mediciones finitas. Formulamos esto como un problema de recuperación óptima no lineal, estableciendo su bien planteamiento y probando su convergencia a la solución verdadera a medida que aumenta el número de mediciones. Sin embargo, la formulación resultante podría no tener una solución de dimensión finita en general. Por lo tanto, presentamos una condición suficiente para la dimensionalidad finita de la solución, aplicable a problemas con mediciones de evaluación puntual bien definidas. Para abordar el contexto más amplio, introducimos una recuperación óptima no lineal relajada y proporcionamos un análisis de convergencia detallado. Se da un ejemplo ilustrativo para demostrar que nuestras formulaciones y hallazgos teóricos ofrecen un marco comprensivo para resolver problemas no lineales en espacios de dimensión infinita con datos limitados.