Análisis y Aproximación de Problemas de Difusión No Local con Restricciones de Volumen

Se explota un cálculo vectorial no local recientemente desarrollado para proporcionar un análisis variacional para una clase general de problemas de difusión no local descritos por una ecuación integral lineal en dominios acotados. El cálculo vectorial no local también permite trazar analogías sorprendentes entre el modelo no local y modelos clásicos para la difusión, incluida una noción de flujo no local. La ubicuidad del operador no local en aplicaciones se ilustra con varios ejemplos que van desde la mecánica de continum hasta la teoría de grafos. En particular, se muestra que los modelos de laplaciano fraccionario y derivada fraccionaria para la difusión anómala son casos especiales del modelo no local para la difusión que consideramos. Las numerosas aplicaciones elucidan diferentes interpretaciones del operador y las ecuaciones de gobierno asociadas. Por ejemplo, una perspectiva probabilística explica que el operador espacial no local que aparece en nuestro modelo corresponde al generador infinitesimal para un proceso de salto simétrico. Se muestran condiciones suficientes sobre el núcleo del operador no local y la noción de restricciones de volumen que conducen a un problema bien planteado. Las restricciones de volumen son un proxy para condiciones de contorno que pueden no estar definidas para un núcleo dado. En particular, demostramos para una clase general de núcleos que el operador no local es un mapeo entre un subespacio restringido por volumen de un subespacio de Sobolev fraccionario y su dual. También demostramos para otros núcleos particulares que la inversa del operador no suaviza pero corresponde a la difusión. El impacto de nuestros resultados es que se proporciona tanto un análisis continuo como un método numérico para el modelado de la difusión anómala en dominios acotados. El marco analítico nos permite considerar aproximaciones de dimensión finita utilizando métodos de Galerkin discontinuos y continuos, ambos conformes para la ecuación de difusión no local que consideramos; se derivan estimaciones de error y número de condición.