Soluciones a la ecuación prescrita de curvatura Q positiva con términos singulares de ley de potencia en R4

Este artículo investiga la teoría de soluciones de una clase de ecuaciones de curvatura Q positiva prescrita con singularidad de ley de potencia en el origen y crecimiento polinómico al infinito en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Nos enfocamos en la ecuación que involucra el operador biharmónico y una no linealidad exponencial, con la función de curvatura prescrita combinando un término singular y un término de crecimiento, donde un parámetro caracteriza la fuerza de la singularidad cónica en el origen y otro parámetro describe la tasa de crecimiento en el infinito. Bajo la restricción de curvatura total finita, analizamos sistemáticamente el comportamiento asintótico de las soluciones normales, establecemos la condición necesaria para la existencia, probamos la existencia y unicidad de soluciones normales radiales simétricas, y damos una caracterización completa del rango admisible óptimo de la curvatura total. Nuestros principales resultados son los siguientes: (i) Derivamos el comportamiento asintótico agudo de las soluciones normales tanto cerca del origen singular como al infinito, y establecemos la identidad de Pohozaev para la ecuación de curvatura Q singular, que proporciona una condición necesaria universal para la existencia de soluciones normales. (ii) Probamos la existencia de soluciones normales radiales simétricas mediante el teorema del punto fijo de Leray–Schauder combinado con una técnica de regularización, y establecemos la unicidad de soluciones radiales con respecto al valor inicial en el origen mediante el principio del máximo fuerte y el análisis de monotonía. (iii) Probamos la continuidad de la curvatura total con respecto al valor inicial a través del análisis de explosión y cuantización de energía, y determinamos el rango óptimo de la curvatura total: para tasas de crecimiento pequeñas, la condición necesaria y suficiente para la existencia es que la curvatura total esté entre dos valores críticos; para tasas de crecimiento grandes, damos una condición necesaria aguda y una condición suficiente explícita para la existencia de soluciones radiales.