Dimensiones y medidas en sistemas de funciones iterados infinitos

Se investigan las medidas y dimensiones de Hausdorff y empaquetamiento de los conjuntos límite de sistemas de funciones iterados generados por familias numerables de contracciones conformes. Se introducen medidas conformes para dichos sistemas, las cuales reflejan propiedades geométricas del conjunto límite, se demuestra su existencia y unicidad. Se deriva la existencia de una probabilidad invariante única equivalente a la medida conforme. Nuestros métodos emplean los conceptos del operador de Perron–Frobenius, dinámicas simbólicas en un espacio de desplazamiento con un alfabeto infinito, y las propiedades de la medida invariante ergódica mencionada anteriormente. Se deriva una fórmula para la dimensión de Hausdorff del conjunto límite en términos de la función de presión. Se muestra que fenómenos fractales no exhibidos por sistemas finitos aparecen en el caso infinito. En particular, se proporcionan una variedad de condiciones para que las medidas de Hausdorff y empaquetamiento sean positivas o finitas, y se describen varios ejemplos que muestran la aparición de diversas combinaciones posibles para estas cantidades. Un ejemplo que recibe especial atención es el conjunto límite asociado a la expansión en fracciones continuas complejas; en particular, se dan estimaciones inferiores y superiores para su dimensión de Hausdorff. Se describe una gran clase natural de sistemas cuyos conjuntos límite son 'sin dimensiones en el sentido restringido'.