Bases conscientes de la geometría para la aproximación de formas

Presentamos una nueva clase de técnicas de aproximación de formas para mallas triangulares irregulares. Nuestro método aproxima la geometría de la malla utilizando una combinación lineal de un pequeño número de vectores base. Los vectores base son funciones de la conectividad de la malla y de los índices de la malla de un número de vértices ancla. Hay una diferencia fundamental entre las bases generadas por nuestro método y aquellas generadas por métodos independientes de la geometría, como los métodos espectrales basados en Laplacianos. En estos últimos métodos, los vectores base son funciones de la conectividad sola. Los vectores base de nuestro método, en cambio, son conscientes de la geometría ya que dependen tanto de la conectividad como de una etiquetación binaria de los vértices que son "geométricamente importantes" en la malla dada (por ejemplo, extremos). Mostramos que, al definir los vectores base como las soluciones de ciertos problemas de mínimos cuadrados, el problema de reconstrucción se reduce a resolver un solo problema de mínimos cuadrados lineales dispersos. También mostramos que este problema se puede resolver rápidamente utilizando un algoritmo de factorización de matrices dispersas de última generación. Mostramos cómo seleccionar los vértices ancla para definir una base efectiva compacta a partir de la cual se puede reconstruir una forma aproximada. Además, desarrollamos una actualización incremental de la factorización del sistema de mínimos cuadrados. Esto permite un esquema progresivo donde una aproximación inicial se refina incrementalmente mediante un flujo de puntos ancla. Mostramos que la actualización incremental y la resolución del sistema factorizado son lo suficientemente rápidas como para permitir un refinamiento en línea de la geometría de la malla.