Sobre la Teoría de Algunas Hipótesis No Paramétricas

Para dos tipos de hipótesis no paramétricas, se derivan pruebas óptimas contra ciertas clases de alternativas. Los dos tipos de hipótesis están relacionados y pueden ser ilustrados por el siguiente ejemplo: (1) La distribución conjunta de las variables X₁, , Xₘ, Y₁, , Yₙ es invariante bajo todas las permutaciones de las variables; (2) las variables están distribuidas de manera independiente e idéntica. Se demuestra que la teoría de pruebas óptimas para hipótesis del primer tipo es la misma que la de pruebas similares óptimas para hipótesis del segundo tipo. Se obtienen pruebas más poderosas contra alternativas simples arbitrarias, y en varios casos importantes se derivan pruebas más rigurosas contra ciertas alternativas compuestas. Para el ejemplo (1), si las distribuciones se restringen a densidades de probabilidad, la prueba de Pitman basada en y - x es la más poderosa contra las alternativas de que los X's y Y's están distribuidos normalmente de manera independiente con varianza común, y que E (Xᵢ) =, E (Yᵢ) = donde >. Si - puede ser positivo o negativo, la prueba basada en | y - x| es la más rigurosa. Las definiciones son suficientemente generales para que la teoría aplique tanto a problemas continuos como discretos, y que las observaciones empatadas no presenten dificultades. Se muestra que los problemas continuos y discretos pueden ser combinados. La prueba de Pitman, por ejemplo, cuando se aplica a ciertos problemas discretos, coincide con la prueba exacta de Fisher, y cuando m = n, la prueba basada en | y - x| es la más rigurosa para la hipótesis (1) contra una amplia clase de alternativas que incluye tanto distribuciones discretas como absolutamente continuas.