Resonancia entre conjuntos de Cantor

Resumen: Sea C a el conjunto de Cantor central obtenido al eliminar un intervalo central de longitud 1−2 a del intervalo unitario, y luego continuar este proceso de manera inductiva en cada uno de los dos intervalos restantes. Demostramos que si log b /log a es irracional, entonces donde dim es la dimensión de Hausdorff. Más generalmente, dados dos conjuntos autosimilares K, K′ en ℝ y un parámetro de escalado s >0, si la dimensión de la suma aritmética K + sK′ es estrictamente menor que dim (K) + dim (K′) ≤ 1 (‘resonancia geométrica’), entonces existe r <1 tal que todas las razones de contracción de las similitudes que definen K y K′ son potencias de r (‘resonancia algebraica’). Nuestro método también proporciona un nuevo resultado sobre las proyecciones de conjuntos autosimilares planos generados por un sistema de funciones iteradas que incluye una rotación irracional escalada.