Integrales de camino y ruptura de simetría para la teoría del control óptimo

Este artículo considera el control lineal-cuadrático de un sistema dinámico no lineal sujeto a un costo arbitrario. Muestra que para esta clase de problemas de control estocástico, la ecuación de Hamilton–Jacobi–Bellman no lineal se puede transformar en una ecuación lineal. La transformación es similar a la utilizada para relacionar la ecuación clásica de Hamilton–Jacobi con la ecuación de Schrödinger. Como resultado de la linealidad, el cálculo habitual hacia atrás puede ser reemplazado por un proceso de difusión hacia adelante que se puede calcular mediante integración estocástica o mediante la evaluación de una integral de camino. Se muestra cómo en el límite determinista se recupera el formalismo del principio mínimo de Pontryagin. La importancia del enfoque de la integral de camino es que forma la base para una serie de métodos computacionales eficientes, como el muestreo de Monte Carlo, la aproximación de Laplace y la aproximación variacional. Mostramos la efectividad de los primeros dos métodos en una serie de ejemplos. Se dan ejemplos que muestran la diferencia cualitativa entre el control estocástico y el determinista y la ocurrencia de ruptura de simetría como una función del ruido.