El tamiz cuadrado y la conjetura de Lang–Trotter

Resumen Sea E una curva elíptica definida sobre ℚ y sin multiplicación compleja. Sea K un campo cuadrático imaginario fijado. Encontramos límites superiores no triviales para el número de primos ordinarios p ≤ x para los cuales ℚ(π p ) = K, donde π p denota el endomorfismo de Frobenius de E en p. Más precisamente, bajo una hipótesis de Riemann generalizada, mostramos que este número es O E (x 17/18 log x), y de manera incondicional demostramos que este número es. También probamos que el número de campos cuadráticos imaginarios K, con −disc K ≤ x y de la forma K = ℚ(π p ), es ≫ E log log log x para x ≥ x 0 (E). Estos resultados representan un avance hacia una conjetura de Lang–Trotter de 1976.