Cálculo Numérico de la Transformación de Schwarz–Christoffel

Se describe un programa que calcula transformaciones de Schwarz–Christoffel que mapean el disco unitario conformemente en el interior de un polígono acotado o no acotado en el plano complejo. También se calcula el mapa inverso. El problema computacional se aborda configurando un sistema no lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son esencialmente los “parámetros accesorios” zₖ. Este sistema se resuelve con una subrutina empaquetada. Las nuevas características de este trabajo incluyen la evaluación de integrales dentro del disco en lugar de a lo largo del contorno, lo que permite el tratamiento de polígonos no acotados; el uso de una forma compuesta de cuadratura de Gauss–Jacobi para evaluar la integral de Schwarz–Christoffel, permitiendo una alta precisión a un costo razonable; y la eliminación de restricciones en el sistema no lineal mediante un simple cambio de variables. Las transformaciones de Schwarz–Christoffel pueden aplicarse para resolver las ecuaciones de Laplace y Poisson y problemas relacionados en dominios bidimensionales con geometrías irregulares o no acotadas (pero no curvas o con múltiples conexiones). Se presentan ejemplos computacionales. El tiempo requerido para resolver el problema de mapeo es aproximadamente proporcional a N³, donde N es el número de vértices del polígono. Un conjunto típico de cálculos con precisión de 8 lugares con N 10 toma de 1 a 10 segundos en un IBM 370/168.