Sobre una teoría de perturbaciones no lineales convergentes sin denominadores pequeños ni términos seculares

Demostramos un método para resolver la dinámica de sistemas de osciladores anharmónicos acoplados extremadamente no lineales con leyes de fuerza polinómicas. Se describen y aplican varias técnicas perturbativas e iterativas convergentes, que producen las frecuencias de Fourier y los coeficientes de la solución dependiente del tiempo. El obstáculo habitual en un análisis en serie de sistemas no lineales acoplados es la aparición de términos con denominadores arbitrariamente pequeños, lo que resulta en una serie que diverge rápidamente. Evitamos este clásico 'problema de los pequeños denominadores' concentrándonos en las soluciones periódicas de un sistema. Utilizamos el 'tiempo de recurrencia de Poincaré' Tr de un sistema como el período de la solución, es decir, cada frecuencia de Fourier puede expresarse como n (2π/Tr), con algún entero n. Estas soluciones periódicas son densas entre todas las posibles soluciones y son suficientes para nuestros cálculos prácticos (así como los números racionales son suficientes para la mayoría de los cálculos prácticos). Por lo tanto, construimos las soluciones con frecuencias de Fourier dependientes racionalmente mientras que los teoremas de Kolmogorov–Arnold–Moser demuestran la existencia de ciertas soluciones cuyas frecuencias son racionalmente independientes. Como ejemplo, tratamos un sistema de dos osciladores equivalente a la 'ecuación de Duffing', un oscilador anharmónico excitado que aparece en modelos de láser, el péndulo excitado, etc. En nuestro análisis no surgen denominadores pequeños. Extendemos la región de soluciones acotadas más allá de las estimaciones (numéricas) en la literatura y añadimos a la lista de fenómenos peculiares exhibidos por la ecuación de Duffing.