Un cálculo de particiones en la teoría de conjuntos

Introducción. El principio de la caja de Dedekind, también conocido como el argumento de la caja o el argumento del cajón (Schubfachprinzip) puede ser descrito, de manera bastante vaga, de la siguiente manera. Si se distribuyen suficientemente muchos objetos sobre no demasiadas clases, entonces al menos una clase contiene muchos de estos objetos. En 1930, F. P. Ramsey descubrió una notable extensión de este principio que, en su forma más simple, se puede expresar como sigue. Sea S el conjunto de todos los enteros positivos y supongamos que todos los pares desordenados de elementos distintos de S están distribuidos en dos clases. Entonces existe un subconjunto infinito A de S tal que todos los pares de elementos de A pertenecen a la misma clase. Como es bien conocido, el principio de Dedekind es el paso central en muchas investigaciones. De manera similar, el teorema de Ramsey ha comprobado ser una herramienta útil y versátil en argumentos matemáticos de carácter más diverso. El objetivo del presente trabajo es investigar una serie de análogos y extensiones del teorema de Ramsey. Reemplazaremos los conjuntos S y A por conjuntos de un tipo más general y los pares desordenados, como ya se da en el teorema demostrado por Ramsey, por sistemas de cualquier número fijo r de elementos de S. En lugar de un conjunto desordenado S, consideramos un conjunto ordenado de un tipo de orden dado, y estipulamos que el conjunto A debe ser de un tipo de orden prescrito. En lugar de dos clases, admitimos cualquier número finito o infinito de clases. Una mayor extensión será explicada en 2, 8 y 9.