Condicionamiento Dependiente de Nodos, Crecimiento de Lebesgue y Amplificación de Ruido en Interpolación Polinómica y de Splines

Este documento presenta un estudio computacional reproducible sobre el condicionamiento y la estabilidad en la interpolación polinómica y de splines. La pregunta central es cómo la geometría de los nodos y la estructura de aproximación afectan el error de interpolación y la amplificación de pequeñas perturbaciones. Se comparan la interpolación polinómica de Newton y barycéntrica en nodos uniformes y de Chebyshev, y se utilizan splines cúbicos naturales como una alternativa local a trozos. El estudio estima constantes de Lebesgue, mide el error de interpolación en mallas densas y realiza pruebas de perturbación de Monte Carlo usando la función de Runge como un ejemplo difícil y la función exponencial como un ejemplo suave favorable. Los resultados muestran que la interpolación polinómica en nodos uniformes se vuelve cada vez más mal condicionada a medida que crece el grado, con constantes de Lebesgue que aumentan rápidamente y una severa amplificación del ruido de datos pequeños. Los nodos de Chebyshev mantienen las constantes de Lebesgue bajas y producen aproximaciones polinómicas estables, mientras que los splines cúbicos naturales permanecen robustos debido a su estructura local. La interpolación barycéntrica mejora la forma de evaluación del polinomio interpolante, pero no elimina el condicionamiento dependiente de nodos subyacente del operador de interpolación. Se incluyen puntos de referencia de cuadratura compuesta secundaria para conectar el estudio de interpolación con una práctica más amplia de aproximación numérica. Los resultados enfatizan que una aproximación confiable depende no solo de condiciones de interpolación exactas u orden formal, sino también del condicionamiento del operador, la colocación de nodos y si la aproximación es global o local.