सामान्य विश्लेषणात्मक कर्नेल के साथ अंशात्मक व्युत्पन्नों में कार्यात्मक के लिए लेजेंड्रे–क्लेब्श की स्थिति

एक सामान्य विश्लेषणात्मक कर्नेल फ़ंक्शन के साथ अंशात्मक परिचालकों के विस्तृत वर्ग के लिए अंशात्मक कलन के परिवर्तन рассматриत किए जाते हैं। परिवर्तनात्मक विश्लेषण से तकनीकों का उपयोग करते हुए, हम पहले और दूसरे क्रम की आवश्यक अनुकूलता शर्तें निकालते हैं, अर्थात् यूलेर–लग्रेज़ समीकरण, वाइरस्ट्रास आवश्यक शर्त, लेजेंड्रे शर्त और अंततः लेजेंड्रे–क्लेब्श शर्त। हमारे परिणाम नए हैं इस अर्थ में कि यूलेर–लग्रेज़ समीकरण द्वैतता सिद्धांत पर आधारित है, और इसलिए केवल बाएं अंशात्मक परिचालकों के साथ निर्मित होते हैं। वाइरस्ट्रास आवश्यक शर्त एक मजबूत आवश्यक अनुकूलता शर्त का एक रूपांतर है, और यह इन सामान्य विश्लेषणात्मक कर्नेल के लिए पोंट्र्यागिन के अधिकतम शर्त से निकाली गई है। लेजेंड्रे–क्लेब्श शर्त डेटा पर सामान्यता के संबंधों के तहत समानता की शर्तों के कारण प्राप्त होती है।