कुछ वेक्टरियल कुल भिन्नता Seminorms के लिए चरम बिंदुओं पर

हम सीमित युक्लिडीय डोमेन पर वेक्टर-वैल्यूड फ़ंक्शंस के लिए ग्रेडिएंट कुल भिन्नता Seminorms द्वारा प्रेरित सामान्यीकृत इकाई गोले के चरम बिंदुओं के सेट पर विचार करते हैं। ये विरल समाधानों और ऐसे फ़ंक्शंस के बीच प्रस्तावित परिवर्ती समस्याओं के लिए विरल अनुकूलन एल्गोरिदम को समझने में केंद्रीय हैं। उन मामलों के लिए जिनमें या तो डोमेन या लक्ष्य एक आयामी हैं या प्रत्येक घटक के कुल भिन्नताओं का योग किया गया है, हम सिद्ध करते हैं कि ये चरम बिंदु दो क्षेत्रों के साथ टुकड़ों में प्रत constantes फ़ंक्शंस से बने हैं। अधिक जटिल मैट्रिक्स नॉर्म्स और विशेष रूप से स्पेक्ट्रल नॉर्म्स में शामिल परिभाषाओं के लिए, हम उदाहरणों के परिवार का निर्माण करते हैं ताकि दिखा सकें कि परिणामस्वरूप चरम बिंदुओं का सेट बड़ा है और इसमें दो से अधिक क्षेत्रों के साथ टुकड़ों में स्थिर फ़ंक्शंस शामिल हैं। हम सममित ग्रेडिएंट द्वारा प्रेरित कुल विकृति पर भी विचार करते हैं, जिसके लिए रैखिक प्रतिबंधों के साथ न्यूनतमकरण कई निरंतर यांत्रिक मॉडलों में सीमित लोड के निर्धारण की समस्याओं में होता है, जिनमें प्लास्टिसिटी शामिल होती है। इस मामले के लिए, हम हल्के अनुमान के तहत दो टुकड़ों के साथ टुकड़ों में अत्यधिक कठोर फ़ंक्शंस को चरम बताने में सक्षम हैं। अंत में, एक उदाहरण के रूप में जो टुकड़ों में स्थिर नहीं है, हम प्रमाणित करते हैं कि इकाई त्रिज्यात्मक वेक्टर फ़ील्ड्स विमान में फ्रोबेनियस कुल भिन्नता के लिए चरम हैं।