कमजोर समाधानों की कुछ गुणात्मक और मात्रात्मक विशेषताएँ मिश्रित विषम और गैरस्थानीय क्वासीलाइनियर अंडाकार और दुगुना नॉनलीनियर पैराबोलिक समीकरणों के लिए

यह लेख दो भागों में है। लेख के पहले भाग में, हम ब्रेज़िस-ऑसवाल्ड समस्या पर विचार करते हैं जो मिश्रित विषम और गैरस्थानीय p-लाप्लेस ऑपरेटर से जुड़ी है और अस्तित्व, अनन्यत्व, सीमाबद्धता और मजबूत अधिकतम सिद्धांत स्थापित करते हैं। इसके अलावा, कुछ मिश्रित विषम और गैरस्थानीय p-लाप्लेस प्रकार के समीकरणों के लिए, हम स्टुर्मियन तुलना प्रमेय प्राप्त करते हैं, कुछ तुलना परिणामों, अस्तित्व का अभाव, भारित हार्डी प्रकार की असमानता स्थापित करते हैं और अद्वितीय मिश्रित विषम और गैरस्थानीय p-लाप्लेस समीकरणों का एक प्रणाली का अध्ययन करते हैं। एक महत्वपूर्ण तत्व पहले से उपलब्ध पिकोन पहचान के स्थानीय और गैरस्थानीय मामलों का संयोजन है। लेख के दूसरे भाग में, हम मुख्य रूप से नियमितता अनुमान से संबंधित हैं। इस उद्देश्य के लिए, अंडाकार सेटिंग में, हम कमजोर हार्नैक असमानता और अर्ध-निरंतरता के परिणाम स्थापित करते हैं। इसके अलावा, हम दुगुना नॉनलीनियर मिश्रित विषम और गैरस्थानीय समीकरणों के एक वर्ग पर विचार करते हैं और अर्ध-निरंतरता के परिणाम और समाधानों के बिंदु के अनुसार व्यवहार को प्रमाणित करते हैं। ये उपयुक्त ऊर्जा अनुमानों और डे जॉर्जि प्रकार के लेम्मा और सकारात्मकता के विस्तार पर आधारित हैं। अंततः, हम विभिन्न ऊर्जा अनुमान स्थापित करते हैं जो स्वतंत्र रुचि का हो सकते हैं।