सेट-मूल्य वाले कार्यों का इंटरपोलेशन

संक्षेप: एक निरंतर सेट-मूल्य वाले कार्य F के निश्चित संख्या में नमूनों को लेकर, जो एक अंतराल को वास्तविक रेखा के संकुचित उपसमुच्चयों में मैप करता है, हम F के अच्छे अनुमानों को विकसित करते हैं, जिन्हें कुशलता से गणना की जा सकती है। पहले चरण में, हम ‘मीetric बहुपद इंटरपोलेशन’ से प्रेरित एक कुशल एल्गोरिदम विकसित करते हैं, जो Dyn et al. (2014, सेट-मूल्य वाले कार्यों का अनुमान: क्लासिकल अनुमापन ऑपरेटरों का अनुकूलन। इम्पीरियल कॉलेज प्रेस) में सिद्धांत पर आधारित है। इस सिद्धांत के अनुसार, एक 'मीetric बहुपद इंटरपोलेन्ट' सभी ‘मीetric चेन’ के लिए बहुपद इंटरपोलेन्ट का एक संग्रह है। सेट-मूल्य वाले कार्यों के लिए जिनके ग्राफ का आंतरिक भाग खाली नहीं है, इन ‘मीetric चेन’ का संग्रह अनंत हो सकता है। हमारा एल्गोरिदम ‘महत्वपूर्ण मीetric चेन’ का एक छोटा निश्चित उपसमुच्चय गणना करता है, जो F का अनुमापन करने के लिए पर्याप्त है। पहले प्रकार के Chebyshev बहुपदों की जड़ों पर नमूनों के साथ Lipschitz निरंतर कार्यों के वर्ग के लिए, हम साबित करते हैं कि हमारे गणना किए गए इंटरपोलेन्ट द्वारा लगने वाली त्रुटि इंटरपोलेशन के बढ़ते बिंदुओं की संख्या के साथ उस दर से घटती है जैसे कि मीetric बहुपद इंटरपोलेन्ट द्वारा इंटरपोलेशन के मामले में होता है। इसे हमारे संख्यात्मक उदाहरणों द्वारा भी प्रदर्शित किया गया है। ग्राफ़ के चिकनी सीमाओं वाले सेट-मूल्य वाले कार्यों के वर्ग के लिए, हम अपने एल्गोरिदम का विस्तार करते हैं ताकि टोपोलॉजी में परिवर्तन के बिंदुओं का उच्च-परिशुद्धता पता लगाया जा सके, जिसके बाद F के ग्राफ़ की सीमाओं का उच्च-क्रम अनुमापन किया जा सके। हम उन सेट-मूल्य वाले कार्यों के मामले पर भी चर्चा करते हैं जिनके ग्राफ़ में परिवर्तन के बिंदुओं पर Hölder-प्रकार की विषमताएं होने वाले ‘छिद्र’ होते हैं। इस मामले को संभालने के लिए, हम छिद्रों के विषम बिंदुओं के निकट कुछ विशेष अनुमापन विचारों को लागू करते हैं। हम एल्गोरिदम के अनुमापन क्रम का विश्लेषण करते हैं, टोपोलॉजी के परिवर्तन के बिंदुओं का अनुमापन करने में त्रुटि को शामिल करते हैं, और कई संख्यात्मक उदाहरणों द्वारा छिद्रों के उच्च-क्रम अनुमापन प्राप्त करने की क्षमता को दिखाते हैं।