संतुलित मैनिफोल्ड पर मात्रा रूप और कैलाबी-याऊ समीकरण

हम संतुलित मैनिफोल्ड पर एल² मीट्रिक के साथ मिश्रित-मात्रा रूपों की जगह पेश करते हैं। इस जगह में एक जियोडेसिक समीकरण निकाला जा सकता है जो एक दिलचस्प संरचना रखता है और यह रिमानियन मैनिफोल्ड पर मात्रा रूपों के स्थान में डोनाल्डसन और चेन-हे के समीकरण का विस्तार करता है। इस गैर-रेखीय PDE का विस्तार से अध्ययन किया गया है और सकारात्मकता धारणा के तहत डिरिक्लेट समस्या के लिए कमजोर समाधान के अस्तित्व को दिखाया गया है। बाद में हम संतुलित मैट्रिक्स के लिए कैलाबी-याऊ समीकरण का अध्ययन करते हैं और मात्रा रूपों के लिए एक ज्यामितीय मानदंड प्रस्तुत करते हैं जो ऊपर दी गई सकारात्मकता धारणा के साथ निकटता से संबंध रखता है। C⁰ पूर्व अनुमान निकालकर, हम दिखाते हैं कि इस धारणा के तहत समाधानों के अस्तित्व को स्थापित किया जा सकता है।