निर्धारित ट्रेस के साथ प्रारंभिक सामान्य जोड़े जो सीमित क्षेत्रों में हैं

मान लें कि q किसी प्राइम p की सकारात्मक समाकृति शक्ति है और Fₐ㵯 एक सीमित क्षेत्र है जिसमें qᵐ तत्व हैं कुछ m N के लिए। यहाँ हम Fₐ के साथ दो निर्दिष्ट ट्रेस, Tr₅_{ₐ㵯/Fq} () =a और Tr₅_{ₐ㵯/Fq} (f () ) =b वाले प्रकार के प्रारंभिक सामान्य जोड़ों के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त शर्त स्थापित करते हैं, जहाँ f (x) Fₐ㵯 (x) एक विवेकाधीन कार्य है जिसमें कुछ प्रतिबंध हैं और a, b Fq। इसके अलावा, q=5ᵏ, m 9 और डिग्री योग 4 वाले विवेकाधीन कार्यों के लिए, हम स्पष्ट रूप से अधिकतम 12 क्षेत्रों को ढूंढते हैं जिनमें इच्छित जोड़ मौजूद नहीं हो सकता।