संकोचकारी तत्वों वाले समूहों में संकुचित उपसमूह

इस पत्र में, हम संकोचकारी तत्वों वाले समूहों की सीमांत क्रियाओं के माध्यम से संकुचित उपसमूहों की वृद्धि का अध्ययन करते हैं। हम स्थापित करते हैं कि एक संकुचित उपसमूह की वृद्धि दर उन समूहों में पर्यावरणीय वृद्धि दर के आधे से अधिक होती है जिनकी वृद्धि पूरी तरह से गुणात्मक होती है। इस बीच, हम सीमांत क्रियाओं के लिए उपसमूहों के होप्फ विघटन पर कई परिणाम प्राप्त करते हैं। विशेष रूप से, हम साबित करते हैं कि संकुचित उपसमूह संरक्षित होते हैं, और गैर-तुच्छ होप्फ विघटन वाले उपसमूहों के उदाहरण तैयार किए जाते हैं। हम होप्फ विघटन और अनुपात वृद्धि के बीच एक कनेक्शन दिखाते हैं और हाइपरबोलिक समूहों में उपसमूहों के लिए श्रेयर ग्राफ़ की अनुपात वृद्धि पर एक द्विभाजन प्रदान करते हैं।