मॉड्यूलर उत्पाद ग्राफ का प्रभुत्व संख्या

ग्राफ G और H का मॉड्यूलर उत्पाद G H एक ग्राफ है जिसमें शीर्ष बिंदु सेट V (G) V (H) है। G H के दो शीर्ष (g, h) और (g^, h^) पार्श्ववर्ती हैं यदि g=g^ और hh^ E (H) है, या gg^ E (G) और h=h^ है, या gg^ E (G) और hh^ E (H) है, या (g g^ और h h^ के लिए) gg^ E (G) और hh^ E (H) है। D V (G) का एक सेट G का एक प्रभुत्व सेट है यदि D के बाहर हर शीर्ष में D में एक पड़ोसी है। D V (G) का एक सेट G का एक कुल प्रभुत्व सेट है यदि G का हर शीर्ष D में एक पड़ोसी है। G का प्रभुत्व संख्या (G) (resp. कुल प्रभुत्व संख्या ₓ (G) ) G के प्रभुत्व सेट (resp. कुल प्रभुत्व सेट) की न्यूनतम cardinality है। इस कार्य में हम (G H) के लिए (G), (H), ₓ (G) और ₓ (H) के संदर्भ में कई ऊपरी और निचले सीमाएँ देते हैं, जहाँ G G का पूरक ग्राफ है। इसके अलावा, हम पूरी तरह से उन ग्राफ़ का वर्णन करते हैं जहाँ (G H) =k है (जहाँ k=1, 2, 3)। कई शर्तें जो G और H पर लागू होती हैं, जिनके अंतर्गत (G H) अधिकतम 4 और 5 है, भी दी गई हैं। एक नए प्रकार का समवर्ती प्रभुत्व (G), जिसे G का प्रभुत्व करने वाले और G के पूरक का पूर्ण प्रभुत्व करने वाले शीर्षों की सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, उपयोगी के रूप में उभरा है और हम मानते हैं कि यह स्वतंत्र रुचि का हो सकता है। हम पेपर को संभावित आगे के अनुसंधान के लिए कुछ दिशाएँ प्रस्तावित करके समाप्त करते हैं।