वायल द्विघात गुरुत्वाकर्षण को एक गेज सिद्धांत के रूप में और गैर-मैट्रिसिटी बनाम टॉर्शन द्वैतता

सारांश हम चार-आयामी स्थान-समय सममितियों के (गैर-सुपरसममितीय) गेज सिद्धांतों और उनके द्विघात क्रिया की समीक्षा करते हैं। ऐसी सममिति का एकमात्र सच्चा गेज सिद्धांत (जिसमें एक भौतिक गेज बोसॉन होता है) जो एक सटीक ज्यामितीय व्याख्या रखता है, अपने स्वतः टूटी अवस्था में आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण उत्पन्न करता है और दोष-रहित होता है, वह वायल गेज सममिति (डायलेटेशन) का है। पूर्ण संयोजक समूह का गेजिंग वास्तविक (गतिशील) संबंधित गेज बोसॉनों का सच्चा गेज सिद्धांत उत्पन्न नहीं करता। वायल गेज सममिति के संदर्भ में, यह स्वाभाविक रूप से वायल संयोजक ज्यामिति में साकार होती है, जहाँ यह दो भिन्न लेकिन समकक्ष ज्यामितीय व्याख्याएँ प्रस्तुत करती है, जिनकी समान द्विघात क्रिया होती है: एक गैर-मैट्रिक लेकिन टॉर्शन-रहित, दूसरी वायल गेज-सहवर्ती और मैट्रिक (एक नए विभेदक ऑपरेटर के सापेक्ष)। इस रोचक परिणाम की उत्पत्ति को स्पष्ट करने के लिए, इस गेज सममिति का तीसरा समतुल्य रूपांतर मानक, आधुनिक दृष्टिकोण का उपयोग करके टेंजेंट स्थान (वाइल्बीन द्वारा स्थान-समय तक उत्थापित) पर बनाया गया, जो मैट्रिक है परन्तु इसमें सदिश टॉर्शन होता है। यह सम्बंधित रूपांतरणों की सदिश गैर-मैट्रिकिटी बनाम सदिश टॉर्शन की एक दिलचस्प द्वैतता को दर्शाता है, जो एक प्रोजेक्टिव रूपांतरण द्वारा जुड़ा हुआ है। हम इन परिणामों के भौतिक अर्थ पर टिप्पणियाँ करते हैं।