सीमित क्षितिज साइनाई बिलियर्ड के लिए MME के अस्तित्व का एक प्रत्यक्ष प्रमाण

दो-टॉरस पर साइनाई बिलियर्ड मानचित्र T, अर्थात, आवधिक लोरेन्ट्ज़ गेज, एक असंगत मानचित्र है। सीमित क्षितिज और सीमित जटिलता मानकर, हम प्रमाणित करते हैं कि बिलियर्ड मानचित्र T से संबंधित कोल्मोगोरोव-साइनाई कलुषता मानचित्र ऊपरी अर्ध-निरंतर है, साथ ही T-स्थायी मापन के सेट की संकुचनता भी है। विशेष रूप से, संभावनाओं g 0 और g = -h ₓ₎₏ (₁) के लिए, हम बिलियर्ड मानचित्र और प्रवाह ₜ के लिए अधिकतम कलुषता (MME) के मापों के अस्तित्व के हालिया परिणामों को पुनः प्राप्त करते हैं, जो T के लिए बालादी और डेमर्स के योगदान के साथ, ₜ के लिए कैरंड के साथ है। सामान्य सीमित क्षितिज साइनाई बिलियर्ड के लिए, हम कलुषता मानचित्र की ऊपरी अर्ध-निरंतरता की कमी और टोपोलॉजिकल टेल कलुषता पर सीमाएँ प्रदान करते हैं। सीमित जटिलता की स्थिति सामान्यतः मानने की अपेक्षा की जाती है।