जब हर S-फ्लैट माड्यूल (फ्लैट) प्रोजेक्टिव होता है

मान लें कि R एक पहचान के साथ अभाज्य रिंग है और S R का एक गुणात्मक उपसमुच्चय है। इस पत्र का उद्देश्य उन अभाज्य रिंगों की श्रेणी का अध्ययन करना है जिसमें हर S-फ्लैट माड्यूल फ्लैट (resp., प्रोजेक्टिव) होता है। एक R-माड्यूल M को S-फ्लैट कहा जाता है यदि M का S पर स्थानीयकरण, MS, एक फ्लैट RS-माड्यूल है। ऐसे अभाज्य रिंग R जिसमें सभी S-फ्लैट R-माड्यूल फ्लैट होते हैं, उन्हें इस तथ्य से परिभाषित किया जाता है कि R/Rs हर s के लिए एक वॉन न्यूमैन नियमित रिंग है। जबकि, ऐसे अभाज्य रिंग R जिनमें सभी S-फ्लैट R-माड्यूल प्रोजेक्टिव होते हैं, निम्नलिखित दो शर्तों द्वारा परिभाषित होते हैं: R पूर्ण है और R का जैकब्सन गुणांक J(R) S-भागयोग्यता है। जो रिंगें इन शर्तों को संतुष्ट करती हैं, उन्हें S-पूर्ण कहा जाता है। इसके अलावा, हम विभिन्न रिंग निर्माणों के लिए "S-पूर्णता" के स्थानांतरण परिणामों का अध्ययन करते हैं, जो अधिक रोचक उदाहरणों का निर्माण करने की अनुमति देता है।