ट्विस्टेड नॉट्स और परेशान एलेक्ज़ेंडर इन्वेरिएंट

परेशान एलेक्ज़ेंडर इन्वेरिएंट ₁, जिसे बार-नाटन और वैन डेर वीन ने परिभाषित किया है, एक शक्तिशाली, आसानी से गणना योग्य बहुपद नॉट इन्वेरिएंट है जो एलेक्ज़ेंडर और रंगीन जोन्स बहुपदों के साथ गहरे संबंधों को दर्शाता है। हम नॉट K₀ S³ में सुसंगत रूप से उन्मुख तंतु के सेट पर पूर्ण ट्यूबिंग करने के द्वारा दी गई नॉट्स \Kₜ\ के परिवारों के लिए ₁ का व्यवहार अध्ययन करते हैं। हम साबित करते हैं कि जैसे-जैसे t बढ़ता है, ₁ के गुणांक अपेक्षाकृत रैखिक रूप से बढ़ते हैं, और हम दिखाते हैं कि हम किसी भी ऐसे परिवार के लिए इस वृद्धि दर की गणना कैसे कर सकते हैं। एक अनुप्रयोग के रूप में, हम अनंत परिवारों में नॉट्स को भिन्न करने की ₁ की क्षमता पर पहला प्रमेय देते हैं। हमारी विधियाँ यह भी दर्शाती हैं कि एलेक्ज़ेंडर बहुपद ऐसे ट्विस्टिंग के तहत स्थिर हो जाता है और हम एलेक्ज़ेंडर बहुपदों की सीमा की गणना कैसे करते हैं, चेन के हाल के परिणाम को मजबूत करते हैं। अंत में, हम अनुमान लगाते हैं कि ₁ एक ``परेशान कॉनवे इन्वेरिएंट'' के माध्यम से नॉट पॉज़िटिविटी को बाधित करता है।