本文建立了一个系统性的微分代数框架,用于图及其他离散结构上的离散变分问题。我们将经典的Ritt–Kolchin微分代数理论扩展到离散环境,引入离散变分微分场,并将离散变分闭包Kd构造为包含离散欧拉-拉格朗日方程解的最小微分闭域扩张。在此闭包内,我们证明了适用于广泛离散变分问题的统一构造性表示定理,包括离散调和映射、弹性网络和场论。该框架通过离散谱理论和组合修正项,提供了明确的解公式,并通过离散谱理论和组合修正项对较高阶变异进行认证。我们开发高效的计算算法,采用严格的区间算术验证协议,通过离散诺特定理确保离散变分对称性和守恒律的保持。与离散几何偏微分方程理论、有限元外微积分和离散可积系统之间的联系,以完全的数学严谨性建立起来。该框架的多功能性通过对受限问题的扩展、随机离散变分原理以及图上的几何深度学习得以体现。
shifa liu (Wed,) studied this question.