Die Simulation von Zweiphasenströmungen in porösen Medien erfordert die Lösung großer, nichtlinearer Gleichungssysteme. Häufig kommen hierfür Newton-Krylov-Verfahren wie GMRES zum Einsatz. Diese Methoden vermeiden die explizite Bildung und Speicherung der vollständigen Jacobi-Matrix, indem sie lediglich Jacobi-Vektor-Produkte berechnen, typischerweise unter Verwendung von automatischem Differenzieren (AD). Da dieser Ansatz jedoch keine expliziten Informationen über die Einträge der zugrunde liegenden Jacobi-Matrix liefert, stellt die Entwicklung effektiver Vorkonditionierer eine Herausforderung dar. In dieser Arbeit wird ein Vorkonditionierungsansatz vorgestellt, der auf einer ausgedünnten Approximation der Jacobi-Matrix basiert. Diese Approximation wird mithilfe von AD und Graphfärbung konstruiert. Der vorgestellte Ansatz ermöglicht eine skalierbare und speichereffiziente Vorkonditionierung für vollständig gekoppelte Newton-Systeme, indem gezielt die Dünnbesetztheit der Jacobi-Matrix ausgenutzt wird. Der Beitrag dieser Arbeit liegt in der Demonstration, wie eine effiziente Vorkonditionierung erreicht werden kann, ohne die vollständige Matrix explizit aufzubauen oder zu speichern. Im ersten Zeitschritt der Simulation verbessert sich die Leistung des Solvers mit steigender Genauigkeit der approximierten Jacobi-Matrix. Ab einer bestimmten Anzahl von Matrixeinträgen im Vorkonditionierer lassen sich jedoch nur noch geringe zusätzliche Verbesserungen erzielen, während der Speicherbedarf zunehmend zum limitierenden Faktor wird. Trotz Abweichungen der Lösung im Sättigungsfeld bleibt die Gesamtgenauigkeit der Lösung erhalten, insbesondere für den Druck, und das Verfahrens konvergiert weiterhin. Die Leistungstrends deuten darauf hin, dass ein Vorkonditionierer mit einer geringen Anzahl von Jacobi-Einträgen oft die rechnerisch effizienteste Lösung für die Konvergenz bietet. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass sich durch die Kombination von semi-matrixfreien Methoden mit dünnbesetzten Vorkonditionierern der Speicherbedarf erheblich reduzieren lässt, ohne die Lösungsqualität zu beeinträchtigen. Dieser Ansatz stellt damit einen effektiven Weg für skalierbare Simulationen von Zweiphasenströmungen in groß angelegten Reservoirmodellen dar.
Mia Ohlrogge (Thu,) studied this question.