हम कुछ श्रेणियों के अंडाकार और पैराबोलिक समीकरणों के कमजोर समाधानों के लिए नियमितता सिद्धांत में हाल की प्रगति प्रस्तुत करते हैं जिनकी संरचना सशक्त रूप से विशेष या अव्यवस्थित है। विचाराधीन समीकरण केवल मूल में स्थित एक गोले के बाहर मानक $p$-वृद्धि और $p$-अंडाकारता की शर्तों को पूरा करते हैं। अंडाकार सेटिंग में, हम कमजोर समाधानों के ग्रेडिएंट के लिए उपयुक्त गैर-रेखीय फ़ंक्शनों के लिए बेसोव और सोबोलव नियमितता परिणामों का वर्णन करते हैं, जो उप-चतुर्भुज (1<p<2) और सुपर-चतुर्भुज (p≥2) क्षेत्रों को कवर करते हैं। समान परिणाम संबंधित पैराबोलिक ढांचे में प्राप्त किए गए हैं, जहां हम डेटा पर उचित अनुमानों के तहत समाधानों की उच्चतम स्थानिक और अस्थायी विभेदनशीलता पर विचार करते हैं।
पस्क्वाले अंब्रोसियो (बुध,) ने इस प्रश्न का अध्ययन किया।