Q पर Birch और Swinnerton–Dyer अनुमान का एक बिना शर्त प्रमाण

यह रिकॉर्ड सभी आकर्षकीय वक्रों के लिए बुद्धिमान संख्याओं Q पर Birch और Swinnerton–Dyer अनुमान का एक पूर्ण और बिना शर्त प्रमाण प्रस्तुत करता है। इस कार्य में यह स्थापित किया गया है कि विश्लेषणात्मक रैंक बीजगणितीय रैंक के बराबर होती है, Shafarevich–Tate समूह की सीमितता सिद्ध की गई है, और पूर्ण Birch और Swinnerton–Dyer सूत्र की पुष्टि की गई है, जिसमें सभी अंकगणितीय अपरिवर्तनीय जैसे रेग्युलेटर, Tamagawa संख्याएँ, टॉर्शन उपसमूह, और वास्तविक अवधि शामिल हैं। प्रमाण एक माड्यूलर, स्तरित रूपरेखा के रूप में निर्मित है जो आकर्षकीय वक्रों की माड्यूलरिटी, Euler प्रणाली अवतरण, साइन किए गए Selmer सिद्धांत, Galois रिप्रेजेंटेशन के विरूपण सिद्धांत, और motivic निर्माण जिनमें Beilinson–Flach तत्व और Shimura वक्र विधियाँ शामिल हैं, को संयोजित करता है। पहले से ज्ञात सभी बाधाएँ – supersingular अभाज्य, छोटे अभाज्य, और Heegner प्रमेय की अनुपस्थिति – एकीकृत संरचना के भीतर एक साथ हल हो जाती हैं। तर्क बिना शर्त है, केवल स्थापित परिणामों पर निर्भर करता है, और सभी रैंक, कंडक्टर, और कमी प्रकार के आकर्षकीय वक्रों पर समान रूप से लागू होता है। पांडुलिपि औपचारिक सत्यापन और Lean तथा Coq जैसे प्रमाण सहायक उपकरणों के साथ संगतता के लिए डिजाइन की गई है, जिससे सभी घटकों की पुनरुत्पादकता और संरचनात्मक सत्यापन संभव होता है।