आंशिक अवशेष प्रमेय और वास्तविक समाकलन की गणना में इसके अनुप्रयोग

सारांश जटिल विश्लेषण को आंशिकीकरण के लिए चल रही प्रयासों के हिस्से के रूप में, हम शाखा बिंदुओं पर गणना किए गए псेउडो‐अवशेषों को शामिल करते हुए अवशेष प्रमेय का एक आंशिक संस्करण प्रस्तुत करते हैं। चूंकि आंशिक व्युत्पन्न गैर-स्थानीय होते हैं और आंशिक शक्तियों के लिए शाखा कट की आवश्यकता होती है, प्रत्येक псेउडो‐अवशेष जटिल तल में एक सिंगल बिंदु के बजाय एक रेखाश्म पर निर्भर करता है। हम प्रदर्शित करते हैं कि हमारे परिणाम कई वास्तविक समाकलनों को गैर-पूर्णांक शक्ति कार्यों को शामिल करने के लिए कैसे उपयोग किया जा सकता है, जो कि वास्तविक समाकलनों के लिए शास्त्रीय अवशेष प्रमेय के अनुप्रयोगों के समान हैं। इन गणनाओं के लिए कुछ प्राथमिक आंशिक भिन्न-समाकलनों को जटिल संदर्भ में व्युत्पन्न करना आवश्यक है, पूर्ण रूप से कठोर परिणामों के लिए शाखा कटों का ध्यान रखते हुए।