अंक बहुभुज का अंकगणित — सटीक जोड़, स्पेक्ट्रल आर्थोगोनैलिटी, और कैरी पहचान

यह पत्र अंक बहुभुज के लिए एक सख्त जोड़ सिद्धांत विकसित करता है, यह सहायक परिणाम पर आधारित है कि 1/p का अंक बहुभुज का हस्ताक्षरित क्षेत्र बिल्कुल नकारात्मक सेमीडेफिनाइट डिर्चलेट ऊर्जा है। 10 के साथ सहसंबंधित दो अभाज्य संख्याएँ p और q दिए गए हैं, दो अंक блок एक सामान्य अवधि L में विस्तारित किए गए हैं जो उनकी व्यक्तिगत अवधियों का सबसे छोटा सामान्य भाजक है और उन्हें दो अलग-अलग स्तरों में जोड़ा गया है: कैरी-मुक्त सुपरपोज़िशन और बेस-10 सामान्यीकरण। कैरी-मुक्त योग के लिए, एक सटीक ध्रुवीकरण पहचान साबित किया गया है जो दो व्यक्तिगत क्षेत्रों और एक सममित इंटरएक्शन रूप के संदर्भ में योग का क्षेत्र व्यक्त करता है। इंटरएक्शन रूप को स्पेक्ट्रली वर्णित किया गया है: यह उन अवधियों के एक जोड़े पर स्वैच्छिक रूप से अदृश्य होता है यदि और केवल यदि उन अवधियों का जीसीडी अधिकतम 2 है, जो स्पष्ट फूरियर समर्थन विश्लेषण के माध्यम से सिद्ध किया गया है। बेस-10 सामान्यीकरण के चरण के लिए, जो कैरी प्रसार के कारण गैर-रेखीय है, एक सटीक कैरी-डिफेक्ट पहचान निकाली गई है जो क्षेत्र परिवर्तन को दो डिर्चलेट ऊर्जा के अंतर के रूप में व्यक्त करती है। कैरी सुधार वेक्टर के स्व-क्षेत्र के लिए पूर्ण लेग-कोर्रेलेशन सूत्र दिए गए हैं और कैरी-मुक्त योग के साथ इसके इंटरएक्शन के लिए भी। पलटा अभाज्य संख्याओं के दोहराए गए योगों के लिए एक सटीक एक-चरण पुनरावृत्ति स्थापित की गई है। पूर्व की ड्राफ्ट्स में प्रस्तुत कई मजबूत दावें — कैरी डिफेक्ट के लिए एक सार्वभौमिक संकेत, एक सार्वभौमिक तनाव आकृष्ट करने वाला, और मर्टन्स प्रकार का समन्वयन — को स्पष्ट रूप से अप्रमाणित के रूप में पहचाना गया है और खुले समस्याओं के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। पत्र में सभी परिणाम पूरे में सिद्ध किए गए हैं।