संबंधित शब्दों की श्रृंखलाओं में आवधिकता पर

संक्षेप में 1927 में हमारी आवधिकता के विचारों का एक महत्वपूर्ण विस्तार हुआ जब यूले ने यह बताया कि वार्षिक सूर्यवृत्त संख्या की श्रृंखला को केवल एक हार्मोनिक श्रृंखला के रूप में न देखकर, जिसमें बहुत सारे यादृच्छिक शब्द जोड़े गए हैं, हम यह मान सकते हैं कि successive वार्षिक संख्याओं के बीच कुछ कारण संबंध है। इस मामले में, प्रणाली को एक भौतिक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक या एक से अधिक प्राकृतिक दोलन होते हैं, जो सभी डंपिंग के अधीन होते हैं; और वार्षिक यादृच्छिक व्यवधानों का प्रभाव एक अपेक्षाकृत चिकनी वक्र बनाने के लिए होगा, जिसमें अवधि में आयाम और लंबाई में भिन्नता होती है, मूल रूप से जैसे सूर्यवृत्त संख्या बदलती है। यदि हम अपनी श्रृंखला के उनके औसत से भिन्नताओं को u1, u2.. कहते हैं, तो यूले ने दिखाया कि एकल प्राकृतिक अवधि का परिणाम एक ऐसी समिकरण है जैसे ux = kux-1 - ux-2 + vx, जहाँ vx “आकस्मिक” बाहरी “व्यवधान” का प्रतिनिधित्व करता है; और यदि दो प्राकृतिक अवधि हैं, ux = k1 (ux-1 + ux-3) - k2ux-2 - ux-4 + vx