क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों में कक्षीय चुम्बकीयता: मल्टी-बैंड इंसुलेटर्स, चर्न इंसुलेटर्स और धातुएं

हम एक सामान्य आवधिक इंसुलेटर (अर्थात, एक जिसमें चर्न अपरिवर्तनीय, या दो आयामों (2D) में चर्न संख्या, समाप्त होती है) में कक्षीय चुम्बकीयता का मल्टी-बैंड स्वरूप निकालते हैं। हाल ही में थोनहाउज़र, सेरेसोलि, वेंडरबिल्ट, और रेस्टा द्वारा विकसित एकल-बैंड औपचारिकता के दृष्टिकोण का पालन करते हुए, हम वैनियर प्रतिनिधित्व में काम करते हैं और पाते हैं कि चुम्बकीयता दो योगदानों से मिलकर बनी है, एक स्पष्ट जो आंतरिक में बल्क जैसे वैनियर कार्यों का आंतरिक प्रवाह से संबंधित है और एक अप्रत्याशित जो सतह के पास वैनियर कार्यों द्वारा ले जाए गए शुद्ध ध्रुवों से उत्पन्न होता है। एकल-बैंड मामले के विपरीत, जहां इन योगदानों में से प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से गेज असिंविधीय है, मल्टी-बैंड स्वरूप में केवल दोनों मानों का योग गेज असिंविधीय है। कक्षीय चुम्बकीयता के लिए हमारा अंतिम अभिव्यक्ति ब्लॉच कार्यों के संदर्भ में एक बल्क गुण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जिससे इसे आधुनिक कोड पैकेज में लागू करना आसान हो जाता है। प्रतिपरक-स्थान अभिव्यक्ति 2D मॉडल सिस्टम के लिए मूल्यांकित की गई है और परिणामों की पुष्टि बल्क से कटे हुए सीमित नमूनों के लिए गणना किए गए चुम्बकीयता की तुलना करके की गई है। अंततः, जबकि हमारा औपचारिक प्रमाण सामान्य इंसुलेटर्स तक सीमित है, हम चर्न इंसुलेटर्स (जिनका चर्न अपरिवर्तनीय शून्य नहीं होता) और धातुओं के लिए भी एक व्यावहारिक विस्तारण प्रस्तुत करते हैं। इस विस्तारण की वैधता को 2D मॉडल सिस्टम के लिए प्रतिबंधित नमूनों के चुम्बकीयता की तुलना करके फिर से परीक्षण किया जाता है। हम उत्कृष्ट सहमति पाते हैं, इस प्रकार व्यावहारिक सूत्र की वैधता के पक्ष में मजबूत अनुभवात्मक प्रमाण प्रदान करते हैं।