कार्यात्मक संचालन गणित और मेटा-कार्यात्मक-संचालन गणित: एक सख्ती से भेदित एकीकृत सैद्धांतिक ढांचा

यह पेपर व्यवस्थित रूप से गणित की दो परस्पर संबंधित नई शाखाओं की स्थापना करता है और उन्हें सख्ती से भेदित करता है: कार्यात्मक संचालन गणित (जो कार्यात्मक संचालनों को शोध वस्तु के रूप में लेता है) और मेटा-कार्यात्मक-संचालन गणित (जो कार्यात्मक संचालनों पर कार्यात्मक संचालनों को शोध वस्तु के रूप में लेता है)। इस पेपर की मुख्य कार्यपद्धति समानांतर भेदों का सिद्धांत है: जैसे संख्याओं को संचालनों से और संख्याओं को फंक्शन्स से सख्ती से भेदित करना आवश्यक है, वैसे ही फंक्शन्स को कार्यात्मक संचालनों से और संचालन को कार्यात्मक संचालनों से सख्ती से भेदित करना चाहिए। इस पेपर के मुख्य योगदान हैं: 1. समानांतर भेदों के सिद्धांत का औपचारिककरण: चार समूहों के समानांतर भेद स्थापित करना — (संख्या, संचालन), (संख्या, फ़ंक्शन), (फ़ंक्शन, कार्यात्मक संचालन), (संचालन, कार्यात्मक संचालन) — और उनके बीच द्वैतता संबंधों का प्रमाण। 2. छह-स्तरीय सख्त भेद प्रणाली: संख्याएँ, फ़ंक्शन, संचालन, कार्यात्मक संचालन, मेटा-संचालन, और मेटा-कार्यात्मक-संचालन की छह-स्तरीय प्रणाली स्थापित करना, और स्तरों के बीच अपसरणीयता का प्रमाण। 3. कार्यात्मक संचालन गणित का पूर्ण सिद्धांत: • कार्यात्मक संचालनों की मूल अवधारणाएँ और प्रकार-सिद्धांत आधारित आधार (खंड 4) • कार्यात्मक संचालन पुनरावृत्ति की गिनती का विस्तार: प्राकृतिक संख्याएँ → पूर्णांक → परिमेय → वास्तविक → सम्मिश्र संख्या → अनंत (खंड 5) • कार्यात्मक संचालन को स्वतंत्र और आश्रित चर के रूप में देखना (खंड 6) • बहु-परिवर्ती और अनंत-आयामी कार्यात्मक संचालन (खंड 7) • कार्यात्मक संचालन के लिए विचलन कलन (खंड 8) • कार्यात्मक संचालन के लिए वर्णात्मक सिद्धांत और संख्यात्मक एल्गोरिदम (खंड 9) 4. मेटा-कार्यात्मक-संचालन गणित का पूर्ण सिद्धांत: • मेटा-कार्यात्मक-संचालनों की सटीक परिभाषा और मूल गुण (खंड 10) • मेटा-कार्यात्मक-संचालनों की पुनरावृत्ति और विस्तार (खंड 11) • मेटा-कार्यात्मक-संचालनों का अवकलन और समाकलन कलन (खंड 12) • मेटा-कार्यात्मक-संचालनों का वर्णात्मक सिद्धांत (खंड 13) • मेटा-कार्यात्मक-संचालनों के उदाहरण और अनुप्रयोग (खंड 14) 5. एकीकृत सैद्धांतिक ढांचा: चार समूहों की समानांतर भेदों का एकीकृत सिद्धांत (खंड 15), पाँचहरी द्वैतता (खंड 16), एकीकृत सांकृतिक प्रणाली (खंड 17), संख्यात्मक सत्यापन परिशिष्ट (खंड 18)।