हर्स्ट प्रभाव: उतार-चढ़ाव के पैमाने का दृष्टिकोण

40 वर्षों से अधिक समय बीत जाने के बाद, तथाकथित हर्स्ट प्रभाव यादृच्छिक जल विज्ञान में एक खुला समस्या बना हुआ है। ऐतिहासिक रूप से, इसके अस्तित्व को पुनःस्केल किए गए समायोजित रेंज के पूर्व-आसिंपटोटिक व्यवहार, समय श्रृंखला में कुछ वर्गों की गैर-स्थैर्यता, अनंत स्मृति, या हर्स्ट गुणांक के गलत मूल्यांकन द्वारा समझाया गया है। यह निर्धारित करने के लिए विभिन्न सांख्यिकीय परीक्षण प्रस्तुत किए गए हैं कि क्या किसी अवलोकित समय श्रृंखला में हर्स्ट प्रभाव प्रकट होता है। ये परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं कि ब्राउनियन आकर्षण के क्षेत्र में प्रक्रियाओं के परिवार के लिए, वितरण में एक गैर-उपगामी यादृच्छिक चर के रूप में संकुचित होता है जिसमें ज्ञात वितरण होता है (कार्यात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय)। उतार-चढ़ाव का पैमाना θ, जिसे सहसंबंध फ़ंक्शन के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, एक प्रमुख भूमिका निभाता है। परीक्षणों का अनुप्रयोग कई भूभौतिकीय समय श्रृंखलाओं पर ऐसा प्रतीत करता है कि वे हर्स्ट प्रभाव को व्यक्त नहीं करती हैं, हालांकि उन श्रृंखलाओं का उपयोग इसके अस्तित्व के उदाहरणों के रूप में किया गया है, और इसके अलावा पारंपरिक पॉक्स आरेख विधि हर्स्ट गुणांक का अनुमानित करने में 0.5 से अधिक मान देती है। यह पता चला कि n के मुकाबले संबंध में गुणांक, जो उतार-चढ़ाव के पैमाने के लिए सीधे आनुपातिक है, गुणांक से अधिक महत्वपूर्ण था। हर्स्ट प्रभाव ने 1/f शोरों और फ़्रैक्टल्स तथा स्केलिंग के संबंधित विचारों के लोकप्रियकरण को प्रेरित किया। यह कार्य स्पष्ट करता है कि अनंतता के साथ व्यवहार करने की प्रक्रियाएं कितनी नाजुक होनी चाहिए।