एबेलियन समूह क्रिया (Abelian group action) के तहत टेम सिस्टम और स्क्रैम्बल्ड जोड़े

Bourgain–Fremlin–Talagrand द्विभाजन का एक गतिशील संस्करण दर्शाता है कि एक डायनेमिकल सिस्टम का एनवेलपिंग सेमीग्रुप या तो बहुत बड़ा होता है और उसमें N की एक टोपोलॉजिकल प्रतिलिपि होती है, या यह एक 'टेम' टोपोलॉजिकल स्पेस होता है जिसकी टोपोलॉजी अनुक्रमों के अभिसरण द्वारा निर्धारित होती है। बाद के मामले में, Glasner (On tame enveloping semigroups. Colloq. Math. 105 (2006), 283–395) इस सिस्टम को टेम कहते हैं। इस शोधपत्र में, हम एबेलियन समूह क्रिया के तहत टेम सिस्टम का अध्ययन करते हैं। हम एक एबेलियन समूह क्रिया के तहत एक डायनेमिकल सिस्टम के लिए स्क्रैम्बल्ड जोड़ों की अवधारणा प्रस्तुत करते हैं और दिखाते हैं कि एक टेम सिस्टम में कोई स्क्रैम्बल्ड जोड़ा नहीं होता है। साथ ही, हम कुछ पर्याप्त शर्तें देते हैं जिससे कि एक जोड़ा स्क्रैम्बल्ड हो। इसके अलावा, इन पर्याप्त शर्तों का उपयोग करते हुए हम साबित करते हैं कि एक एबेलियन समूह क्रिया के तहत एक मिनिमल टेम सिस्टम लगभग ऑटोमॉर्फिक और विशिष्ट रूप से एर्गोडिक होता है। यह ऊपर उद्धृत शोधपत्र में Problem 2. 5 का सकारात्मक उत्तर देता है। अंत में, हम साबित करते हैं कि Z-actions के लिए एक टेम सिस्टम M-null होता है, अर्थात, किसी भी इनवेरिएंट माप और प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी बढ़ते अनुक्रम के लिए मीट्रिक अनुक्रम एंट्रॉपी शून्य होती है। हम यह दिखाने के लिए उदाहरण भी देते हैं कि Z-actions के लिए टेमनेस, नलनेस की तुलना में स्पष्ट रूप से कमजोर है।