Prime Gravity Hilbert-Polya ऑपरेटर का स्पेक्ट्रल अभिसरण

हम बिना किसी शर्त के यह सिद्ध करते हैं कि Prime Gravity जियोडेसिक Schrödinger ऑपरेटर Hgeo (W) = −d²/ds² + VPG (u (s) ; W) का आइगेनवैल्यू अनुक्रम प्राइम कटऑफ़ W → ∞ के रूप में अभिसरित होता है। तीन परिणाम स्थापित किए गए हैं: (1) Prime Gravity पोटेंशियल VPG (u; W), L² में एक सीमित पोटेंशियल VPG (u; ∞) की ओर O ( (log W) ^−1/2) की दर से बिना शर्त अभिसरित होता है, जो RH के तहत O (W^−1/2+ε) में सुधरता है; (2) ऑपरेटर फैमिली Hgeo (W) नॉर्म रिजॉल्वेंट सेंस में एक सीमित ऑपरेटर H_∞ की ओर अभिसरित होती है; और (3) Kato's perturbation theory द्वारा, प्रत्येक आइगेनवैल्यू λₖ (W) बिना किसी शर्त के λₖ (H_∞) पर अभिसरित होता है। इसके बाद हम Prime Gravity Spectral Conjecture प्रस्तुत करते हैं — कि सभी k के लिए λₖ (H_∞) = γₖ है, जहाँ γₖ नॉन-ट्रिवियल Riemann ज़ीरोज़ के काल्पनिक भाग हैं — और Paper 2 की Mellin पोल संरचना तथा Paper 5 के द्विशर्त के माध्यम से सिद्ध करते हैं कि यह Riemann Hypothesis के समतुल्य है। Paper 13 के लिए Spectral Conjecture की ओर तीन मार्गों की पहचान की गई है: इनवर्स स्कैटरिंग (Gel'fand–Levitan–Marchenko), ट्रेस फॉर्मूला (Selberg मॉडल), और प्रत्यक्ष आइगेनफ़ंक्शन निर्माण। कीवर्ड: Prime Gravity, Hilbert-Pólya conjecture, spectral convergence, Kato perturbation theory, norm resolvent convergence, Riemann Hypothesis, limiting operator, Mellin poles, geodesic Schrödinger operator, von Mangoldt function, explicit formula, L² convergence, eigenvalue convergence, Schrödinger operator, self-adjoint operator