यह पेपर संशोधित डायरेक ऑपरेटर D = −i(x*d/dx + 1/2) के रेज़ॉल्वेंट की संतुलनता का कठोर कार्यात्मक-एनालिटिक प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो अडेलिक साम्य वर्गों के स्थान AQ/Q∗ पर है। इस प्रमाण का आधार बुनियादी अडेल्स के गोल्फ़ के अंगों की गैर-आर्किमेडियन टोपोलॉजी की संतुलनता, वेटेड सोबोलव स्पेस का एम्बेडिंग, शाउडर के सीमित-क्रम निकटता के मानदंड, और C∗-आल्जेब्रास पर KMS राज्यों का सिद्धांत है। प्रमाणित संतुलनता एक पूरी तरह से वर्णात्मक और वास्तविक वर्णांक स्पेक्ट्रम का संकेत देती है, जो डे ब्रांजे दोषों की उपस्थिति को समाप्त करती है और रिमान ज़ेटा फ़ंक्शन के ज़ीरो को महत्वपूर्ण रेखा पर ठीक करती है।
इलगिज मुर्ताजिन (सत,) ने इस प्रश्न का अध्ययन किया।