दो स्वतंत्रता के डिग्री वाले N-ary प्रणालियों के सर्वोत्तम प्रदर्शन पर

n संभावित प्रसारित प्रतीकों के साथ एक डिजिटल ट्रांसमिशन सिस्टम पर विचार किया गया है। यदि प्रसारित प्रतीकों के बीच का समय T 0 सेकंड है और बैंडविड्थ W है, तो n संभावित प्रतीक 2WT₀ आयामी सिग्नल स्पेस में n वेक्टरों के अनुरूप हैं। यह पत्र उस प्रकार की डिजिटल प्रणालियों के सिद्धांतिक गुणों पर विचार करता है जहाँ सिग्नल स्पेस द्वि-आयामी है। ऐसी प्रणालियाँ दोनों एम्प्लीट्यूड और फेज-मॉड्यूलेटेड हैं। इन प्रणालियों की औसत त्रुटि की संभावना के लिए लगभग अभिव्यक्तियाँ विकसित की गई हैं, जो द्वि-आयामी सिग्नल स्पेस में n प्रतीक वेक्टरों की स्थिति के एक फ़ंक्शन के रूप में हैं। इसके बाद सर्वोत्तम स्थितियाँ दी गई हैं जो किसी दिए गए औसत या पीक पावर SNR बाधा के लिए इस त्रुटि की संभावना को न्यूनतम करती हैं। यह दिखाया गया है कि सर्वोत्तम चैनल संरचना वर्णमाला के आकार n और पावर बाधा के प्रकार के साथ-साथ SNR का एक फ़ंक्शन है। सामान्यतः, सर्वोत्तम प्रणाली एक फेज-मॉड्यूलेटेड प्रणाली है जो निम्न SNR पर है और उच्च SNR क्षेत्र में वर्णमाला के आकार n 16 के लिए है। इस सर्वोत्तम प्रणाली का प्रदर्शनीय चैनल क्षमता और त्रुटि की संभावना के संदर्भ में एक आयामी प्रणालियों, केवल AM और केवल PM के प्रदर्शन की तुलना में किया गया है, जो पीक और औसत पावर के लिए पूर्ण अनुप्रयोगों में है।