3x+1 ग्राफ में मजबूत पर्याप्त सेट और अंकगणितीय अनुक्रमों का वितरण

3x+1 अनुमान यह बताता है कि हर सकारात्मक पूर्णांक 1 का T-परिभ्रमण, जहाँ T x को x/2 के लिए मानचित्रित करता है जब x सम है और (3x+1)/2 के लिए x के लिए। सकारात्मक पूर्णांकों का सेट S पर्याप्त होता है यदि प्रत्येक सकारात्मक का परिभ्रमण S के किसी सदस्य के परिभ्रमण के साथ intersect करता है। एक पूर्ववर्ती पत्र में यह निर्धारित किया गया कि हर अंकगणितीय अनुक्रम पर्याप्त है। इस पत्र में हम पर्याप्तता के विचार की और जांच करते हैं। हम प्राकृतिक संख्याओं में मनमाने रूप से निम्न असमासिक घनत्व के सेट का निर्माण करते हैं। हम x को x/2 और (3x+1)/2 द्वारा उत्पन्न समूहों की संरचना निर्धारित करते हैं, जो 6 के सापेक्ष प्रमुख है, और 3x+1 गतिशील प्रणाली से संबंधित निर्देशित ग्राफ पर समूहों की क्रिया का अध्ययन करते हैं। इससे हमें अंकगणितीय अनुक्रमों के वितरण के बारे में जानकारी प्राप्त होती है, जिससे कुछ अंकगणितीय अनुक्रमों के बारे में अद्भुत नए परिणाम मिलते हैं। हम दिखाते हैं कि हर सकारात्मक पूर्णांक का आगे का T-परिभ्रमण 2 mod 9 के लिए समान्तरित होता है, और प्रत्येक गैर-चर चक्र और विचलनशील परिभ्रमण में 20 mod 27 के लिए एक तत्व होता है। हम इस तरह से अन्य सेट खोजने के लिए इन परिणामों का सामान्यीकरण करते हैं जो इस प्रकार से अत्यधिक पर्याप्त हैं। अंत में, हम दिखाते हैं कि 3x+1 डायग्राम किसी भी n के लिए 2ⁿ के अनुसार एक आश्चर्यजनक और सुंदर द्वैतता प्रदर्शित करता है, और प्रमाणित करते हैं कि यह किसी अन्य मुद्रिका के लिए नहीं है। इसके बाद, हम गैर-चर अत्यधिक पर्याप्त सेट के अतिरिक्त परिवारों के लिए पहले के गहरे परिणामों का उपयोग करते हैं यह दिखाकर कि किसी भी k<n के लिए, किसी भी प्राकृतिक तरीके से, डायग्राम को 2ⁿ के साथ 2ᵏ पर "fold" किया जा सकता है।