दीर्घकालिक अंतःक्रियाओं के साथ आइसिंग मॉडल

क्रिस्टल सांख्यिकी में बंद-फार्म अनुमान के सिद्धांत को य्वॉन, रुशब्रुक और स्कॉइन्स, फॉर्नेट, और डॉम्ब और हाइल ने विकसित किया है, इसे दीर्घकालिक बलों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है। इस विस्तार का उपयोग शून्य क्षेत्र में अव्यवस्थित स्थिति के लिए एंट्रोपी, विशिष्ट ताप और संवेदनशीलता के लिए निरंतर अनुमान प्राप्त करने के लिए किया जाता है, किसी भी प्रकार के दीर्घकालिक बलों के लिए। अनुमानों के सामान्य रूपों का अध्ययन किया जाता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि जब नमूना अंडाकार होता है और अंतःक्रियाएँ डिपोलर होती हैं, तो सटीक गुणों का आकार पर निर्भरता क्या है। यह पाया गया कि, अव्यवस्थित स्थिति में, संवेदनशीलता आकार पर निर्भर होती है जबकि विशिष्ट ताप और एंट्रोपी नहीं होती। पहले दो बंद रूपों (एक बेथे-प्रकार अनुमान) का उपयोग करके संवेदनशीलता की संख्यात्मक जांच यह दिखाती है कि, जैसे-जैसे बल की सीमा बढ़ती है, सामरिक बिंदु मुख्य रूप से आयामीता पर निर्भर करता है और जाल के विस्तृत ढाँचे के प्रति संवेदनशील नहीं रहता। जैसे ही p → d (जाल की आयामीता), यह पाया गया कि यह अनुमान सीमा में सटीक व्यवहार देता है। हालांकि, यह निष्कर्ष डिपोलर बलों के लिए मान्य नहीं है।