एक ताम्र कूलर-सेगेल प्रणाली में अंततः चिकनाई और आसिम्प्टोटिक व्यवहार जिसमें उप-चौगुणात्मक गिरावट है

कूलर-सेगेल प्रणाली जिसमें उप-चौगुणात्मक गिरावट है, पर विचार किया गया है uₓ= u- (uv) + ru - u^\\ vₓ= v- v + u, एक समरूप न्यूमैन सीमा शर्तों के तहत एक चिकनी सीमाबद्ध क्षेत्र ^3 में, जहाँ >0, r, >0 और (1, 2) हैं। कुछ पिछले अध्ययन यह दावा करते हैं कि सभी उचित हल्के प्रारंभिक डेटा के लिए, कोई-फ्लक्स/कोई-फ्लक्स प्रारंभ-सीमा मूल्य समस्या (*) के लिए कम से कम एक वैश्विक सामान्यीकृत समाधान मौजूद है जब भी (1, 2) हो, और कि ऐसे समाधान स्थानिक रूप से समरूप स्थिर अवस्था ( (r) ^1{-1}, (r) ^1{-1}) की ओर बड़े समय सीमा में संघटित होते हैं यदि r>0, [43, 2) और >0 उचित रूप से बड़ा है। हालाँकि, समाधानों के नियमितता गुणों के बारे में ज्ञान सीमित है, और ऐसे समाधानों की संघटन दरें अभी भी अज्ञात हैं। वर्तमान कार्य पहले स्थापित करता है कि ये सामान्यीकृत समाधान अंततः चिकने और सीमित हो जाते हैं यदि (53, 2) और r min\^{2{4-^{2-1}}, ^2{3-}\} किसी = (, , ) >0 के साथ, और दूसरा यह दर्शाता है कि ये समाधान खतरनाक ढंग से, बीजगणितीय रूप से और खतरनाक ढंग से ( (r+) ^1{-1}, (r+) ^1{-1}) की ओर स्थिर होते हैं विशेषतः r 0 के लिए, जब यह सुनिश्चित किया जाए कि >0 उचित रूप से बड़ा है जब r>0 है। हमारे परिणाम यह संकेत देते हैं कि किसी भी प्रकार के अनंत-काल में प्रसार और समाधानों का निरंतर दोलन व्यवहार तीन-आयामी प्रणाली (*) के लिए जिनमें उप-चौगुणात्मक गिरावट को ध्यान में रखा गया है, को उन परिदृश्यों में बाहर रखा जा सकता है जहाँ अंतर्निहित जनसंख्या स्वचालित रूप से प्रक्षिप्त नहीं होती है, या प्रक्षिप्त होती है एक उचित रूप से छोटे दर पर।