क्वांटम मेकैनिक्स के आधार: श्रेडिंजर समीकरण के गणितीय आपक्सीय व्युत्पत्ति के सामान्यीकरण

क्वांटम मेकैनिक्स के लिए एक आपक्सीय दृष्टिकोण जो कि एक प्रमेय के रूप में श्रेडिंजर समीकरण रखता है, व्याख्या मुद्दों से निपटने में अत्यधिक मूल्यवान हो सकता है, क्योंकि सभी व्याख्या निर्माण आपक्स में मौजूद होने चाहिए, या सीधे उनके गणितीय अनफोल्डिंग से निकाले जाने चाहिए। इसलिए, यह दिखाना महत्वपूर्ण है कि यह आपक्सीय व्युत्पत्ति किसी भी संभावित संदेह से परे विश्वसनीय है। इसे दिखाने के लिए, आपक्स का सामान्यीकरण और विस्तार करना संभव है ताकि श्रेडिंजर समीकरण को अंतर्निहित सामान्यीकृत या विस्तारित प्रारूपों में निकाला जा सके। पिछले पेपरों में, हमने दिखाया है कि हमारा प्रस्तुत किया गया आपक्सीय दृष्टिकोण श्रेडिंजर समीकरण को सीधे आपक्स के रूप में निकालने के लिए उपयोग किया जा सकता है। तब से, हमने यह भी दिखाया कि कार्टेशियन के अलावा अन्य निर्देशांक प्रणालियों में उस व्युत्पत्ति को सामान्यीकृत करना संभव था, साथ ही उसके सापेक्षतावादी विस्तारों को जो सापेक्षतावादी तरंग समीकरणों की ओर ले जाते हैं। अवशिष्ट प्रणालियों के लिए भी एक विस्तार किया गया, जिससे हमें पहले सिद्धांतों से कैल्डिरोला–कनाई समीकरण को गणितीय रूप से निकालने की अनुमति मिली। ये सभी व्युत्पत्तियाँ शुद्ध अवस्थाओं का उपयोग करके और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में की गईं। इसका मतलब है कि हम इस दृष्टिकोण को इन दोनों संभावनाओं को अपनाने के लिए और सामान्यीकृत कर सकते हैं। एक आपक्सीय दृष्टिकोण होने के नाते, हम दिखाते हैं कि हमें केवल इन दोनों संदर्भों के लिए श्रेडिंजर समीकरण को निकालने के लिए आपक्स को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता है। काफी प्रत्यक्ष होने के बावजूद, इन व्युत्पत्तियों की बीजगणितीय जटिलता पाठक को प्रस्तावित आपक्सों में इच्छित विश्वास देनी चाहिए।