समानांतर लैग्रेंज अंक के चारों ओर दो बार सममित कक्षाएँ

तीन-आयामी मामलों में प्रतिबंधित समस्या के तीन परिवारों के आवधिक समाधानों के रूपों और स्थिरता पर चर्चा की गई है, दो-बिंदु सीमा मान सिद्धांत का उपयोग करके और समाधानों के जैकोबियन के गुणांक की गणना करके। यह पाया गया है कि L2 और L8 के मामले में कम चालन वाले स्थिर सदस्य वास्तव में मौजूद हैं। इन बिंदुओं के निकट एक संभावित नए समाकल की चर्चा की गई है, साथ ही आकाशीय गति के समकक्ष मामले की भी। यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यदि एकल-मूल्य वाले ग्रेडिएंट के साथ नया समाकल नहीं हो सकता जब तक कि उसका ग्रेडिएंट सभी "विशेष" बंद समाधानों के साथ ऊर्जा समाकल के ग्रेडिएंट के समांतर न हो। "साधारण" समाधान, दूसरी ओर, कई शोधकर्ताओं द्वारा व्यापक खोज के बाद कभी नहीं मिले; और इस प्रकार ऊपर दिया गया निष्कर्ष सामान्य प्रतीत होता है।