पूर्ण ग्राफ़ पर यादृच्छिक इलेक्ट्रिकल नेटवर्क

एक यादृच्छिक इलेक्ट्रिकल नेटवर्क एक ग्राफ़ G है जिसमें धाराएँ इलेक्ट्रिकल कनेक्शन हैं, जिनके प्रतिरोध स्वतंत्र समान वितरण यादृच्छिक चर का एक परिवार बनाते हैं। हम उस मामले पर विचार करते हैं जब G n + 2 वर्टिस पर एक पूर्ण ग्राफ़ है और एक विशिष्ट धार-resistance R का वितरण P ( R = ∞ ) = 1 − γ ( n ) n , P ( R ⩽ x ) = γ ( n ) n F ( x ) के लिए 0 ⩽ x nβ, कुछ सकारात्मक संख्या β के लिए। हम ऐसे प्रमेयों का उल्लेख करते हैं जो बताते हैं कि यदि γ(n) → γ ∈ [0, ∞) जब n → ∞, तो γc = 1 γ का एक महत्वपूर्ण मान है कि यदि γ ⩽ 1 तो P(Rn = ∞) → 1, यदि γ > 1 तो Rn स्वतंत्र यादृच्छिक चरों R′ + R″ के वितरण में संग्रहित होता है, जहाँ R′ और R″ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जिनका वितरण शाखा प्रक्रिया के परिवार पेड़ में मूल और 'अनंत' के बीच इलेक्ट्रिकल प्रतिरोध के रूप में है जिसका संतति वितरण पोइसों है, औसत γ, और जिनकी प्रत्येक धार में यादृच्छिक इलेक्ट्रिकल प्रतिरोध है जो सभी अन्य धार-प्रतिरोधों से स्वतंत्र है और वितरण फ़ंक्शन F है।