रैंक-वन फैक्टर के साथ ट्विस्टेड कम्यूटेटर का पूर्ण सिंगुलर-वैल्यू स्पेक्ट्रम और वेटेड Böttcher–Wenzel असमानता के लिए इसका अनुप्रयोग

मान लें कि \ (D\) पॉजिटिव डेफिनिट हर्मिटियन है और \ (TX: Y XDY-YDX\) Frobenius नॉर्म के साथ \ (Mₙ (C) \) पर संबंधित ट्विस्टेड कम्यूटेटर है। रैंक-वन फैक्टर \ (X= uv^*\) के लिए, एक ऑर्थोगोनल ब्लॉक अपघटन सटीक ऑपरेटर नॉर्म \ TX₅ ₅²=² (Du²+ Dv²-|u^*Dv|²), \ के साथ-साथ \ (TX\) का पूर्ण सिंगुलर-वैल्यू स्पेक्ट्रम प्रदान करता है। हम इसकी रैंक, नलिटी और सभी Schatten नॉर्म्स का निगमन करते हैं। हम संबंधित शार्प बाउंड प्राप्त करने वाले फैक्टर्स को अभिलक्षित करते हैं, उनके अधिकतम सिंगुलर वेक्टर्स की पहचान करते हैं, और दो मात्रात्मक स्थिरता अनुमान सिद्ध करते हैं। प्रतिस्थापन \ (D=^-1/2\) इन परिणामों को वेटेड Frobenius नॉर्म \ (A_²=tr (A^*A) \) में स्थानांतरित करता है। एक निश्चित रैंक-वन मैट्रिक्स \ (A=ab^*\) के लिए, यह \ (B, B\) का सटीक नॉर्म प्रदान करता है। परिणामस्वरूप, टाइप (i) की वेटेड B\"ottcher Wenzel असमानता बिना किसी सामान्यता (normality) की धारणा के, जब भी एक फैक्टर रैंक-वन का होता है तब लागू होती है। यह Fang और Cheng के प्रमेय का विस्तार करता है, जिसके लिए दोनों फैक्टर्स का रैंक-वन होना आवश्यक होता है। हम एक इनवेरिएंट प्लेन पर समर्थित फैक्टर्स के लिए एक शार्प बाउंड, दो रैंक-टू समानता फैमिलीज और लगभग इनवेरिएंट प्लेन्स के लिए एक मात्रात्मक अनुमान भी प्राप्त करते हैं। रैंक-टू का मामला अभी भी खुला हुआ है। हम समाधान के बजाय सटीक रिडक्शन सिद्ध करते हैं। इनमें एक ऑर्थोगोनल एनर्जी आइडेंटिटी, एक डेफिसिट डिकम्पोजिशन और एक रीस्केलिंग आइडेंटिटी शामिल है जो वन-पैरामीटर ऑपरेटर पेंसिल की ओर ले जाती है। एक्सट्रीमल रैंक-वन बाउंड्री पर, इंटरफेरेंस समाप्त हो जाता है और एक Schur-पूरक विस्तार दो-आयामी फर्स्ट-ऑर्डर स्पर्शरेखा (tangency) ऑपरेटर उत्पन्न करता है। हम दो विपरीत ज्यामितीय विन्यासों में इस ऑपरेटर की गणना करते हैं। अनुमानित बाउंड का उल्लंघन करने में सक्षम कोई भी सिंगुलर वेक्टर अधिकतम चार आयामों के दो सबस्पेस के बीच सीमित होता है।