境界を持つ多様体上の対称化されたグラフラプラシアンのスペクトル収束

我々は、境界を持つ多様体、すなわち Rᵐ の部分多様体からサンプリングされた埋め込みデータのペアに対して評価されるガウスカーネルによって誘発される対称化されたグラフラプラシアン行列のスペクトル収束を研究します。具体的には、境界条件において良く定義されたラプラス-ベルタミ演算子の固有解への離散グラフラプラシアン行列の固有対の収束率を導き出します。これには、均質なノイマン境界条件とディリクレ境界条件が含まれます。ディリクレ問題に関しては、最近の応用で数値的に観察された切断グラフラプラシアンの収束を導き出し、単純な多様体について詳細な数値調査を提供します。我々の証明方法は、コンパクトで対称的な積分演算子に関する最小-最大の議論に依存し、境界を持つ多様体上の積分演算子のスペクトル収束のためのRKHS理論と、ガウスカーネル積分演算子に関する最近の点wise漸近的結果を活用しています。