ノイマンスペクトル問題における最適好ましい領域の漸近的な位置と形状

我々は、適切な符号変更有界関数のクラスで変動する重みのために、予め定められた有界な正規領域 R^N, N2 に設定された重み付きノイマン問題に関連する正の主固有値の最小化に関する研究を完成させる。最適固有関数を u とし、その超レベル集合を D とし、最適重みの正性集合に対応するものとする。D の測度がゼロに近づくとき、u の唯一の最大点 P は最大平均曲率の点に近づくことを証明する。さらに、D が C^1, 1 に近い球面集合との交差であることを示し、D の測度のべきに従って減少する球面非対称性の定量的推定を提供する。これらの結果は、小体積領域において、この枠組みにおける長年の質問に対する完全に詳細な回答を提供する。