非調和多変量フーリエ変換と行列：条件数とハイパープレーン幾何学

離散測度のフーリエ変換を取り、X[-12, 12) ᵈで支持され、コンパクトᵈに制限する演算子を考えます。半径mの球または立方体のときの最小特異値の下限を、Xに対するさまざまな幾何学的仮定の下で提供します。最初に、X内の点間の距離が、任意に小さくできるaで下限されている場合、最小特異値は少なくともCm^d/2 (m) ^-1であることを示します。これは、与えられた半径内に含まれるXの要素の最大数です。この推定はフーリエ変換の局所化効果を示しています。鋭いものでありながら、最小特異値は多くのXに対して予想以上に良好に振る舞い、パラメータによって一般的な集合を拡大する場合を含みます。次に、各xに対してセットX\x\が部分的にr本のハイパープレーンで構成され、その距離が少なくともあるものであるならば、最小特異値は少なくともC m^d/2 (m) ʳになることを示します。一般的な集合の拡大に対して、下限はC m^d/2 (m) ^ (-1) /dになります。指数に1/dの因子が現れることは、最悪のシナリオと比較して、非調和フーリエ変換の条件数が典型的な集合に対して予想以上に良好であり、高次元化に伴い改善されることを示唆しています。