クラル次元1の可換ドメイン上のトーションフリー加群

Rをクラル次元1のドメインとするとき、R上の加群のクラスFが有限生成トーションフリー加群の任意の直和のもとで直接サムダントで閉じているのはいつかを研究します。もしRが局所的であれば、Fは直接サムダントで閉じている必要十分条件は、任意の非分解有限生成トーションフリー加群が局所的な自己準同型環を持つことです。さらに、Rがノーザリアンであれば、これはRの正規化が局所環であることと同値です。もしRがクラル次元1のh-局所ドメインであり、FRが直接サムダントで閉じているなら、この性質はRの最大イデアルでの局所化によって引き継がれます。さらに、最大イデアルでのRの任意の局所化は、1つを除いてすべて、任意の有限生成イデアルが2生成であることを満たします。逆は、ドメインRが加えて整数閉じているか、ノーザリアン半局所または有限正規化を持つノーザリアンである場合に成り立ちます。最後に、有限性を持つ可換ドメインで、クラル次元に制限がない場合、Fにおける可算生成加群の同型類はその属により決定されることを示します。